Muster und strukturen in der mathematik

Gauß` Idee, die Primierungen zu zählen, führte schließlich zu dem vielleicht schwierigsten offenen Problem der Mathematik: der Riemann-Hypothese, benannt nach dem Mathematiker Bernhard Riemann aus dem 19. Jahrhundert. Die Mathematik ist komplex, aber im Wesentlichen in dem Versuch, eine genaue Zählung der Primzahlen zu konstruieren, entdeckte Riemann ein Muster in ihrer Verteilung. (Sie können mehr über die Riemann-Hypothese in Die Musik der Primzeiten lesen.) Ein Beweis für die Riemann-Hypothese würde viel über die Ebbe und Flut von Primzahlen auf der Zahlenlinie verraten. Nur ein weiteres Beispiel für die Macht von Mustern in der Mathematik. Vielen Dank für die Frage! Obwohl ich durch die Formulierung ein wenig verwirrt bin, können Sie darauf eingehen, was Sie mit « Definitionen von Mustern » meinen? Mathematiker erforschen oft einfache Strukturen, um nach den Mustern zu suchen, die entstehen. Hier ist eine Chance für Sie, wie ein Mathematiker zu arbeiten. Können Sie interessante Muster finden und erklären? Muster und Strukturen sind für die Mathematik von grundlegender Bedeutung. Sie ermöglichen es Mathematikern, zu erkennen, wann etwas Interessantes vor sich geht, den Kern eines Problems zu identifizieren und von einem spezifischen Beispiel zu einem allgemeineren Verständnis zu verallgemeinern. Ich tue mich schwer, zwischen den Definitionen von Mustern und Strukturen zu unterscheiden oder sie miteinander zu verbinden. Die Gruppentheorie ist ein sehr gut verstandener Bereich der Mathematik und ein Thema der laufenden Forschung. Durch die Identifizierung dieser zugrunde liegenden Struktur in jeder dieser Einstellungen kann die leistungsstarke mathematische Maschinerie, die entwickelt wurde, um Gruppen in einer Einstellung zu verstehen, verwendet werden, um eine andere Einstellung besser zu verstehen. (Sie können mehr in unserem Paket zum Gruppentheoriepaket lesen.) Die Enthüllung der zugrunde liegenden mathematischen Struktur ist wie die Geschichte des Kaisers, der in seiner neuen, nicht existierenden Kleidung aussteigt, es zeigt, dass all diese Einstellungen tatsächlich Beispiele für dasselbe sind.

Wenn wir an eine Struktur im alltäglichen Sinne denken, denken wir vielleicht an Gebäude, Häuser und Brücken. Wir können auch eine Struktur als ein abstrakteres Objekt betrachten, das irgendeine Form komplexer Organisation beinhaltet. Die Handlung eines Films, eine musikalische Komposition und Regierungsbürokratien sind in gewisser Weise Strukturen. All dies sind Fälle, in denen kleine Unterstrukturen so organisiert sind, dass größere, kompliziertere Muster erstellt werden. Ein Gebäude ist nichts anderes als die komplizierte Organisation kleinerer Unterkonstruktionen wie Ziegel, Zement, Holz und Eisen. Eine musikalische Komposition ist eine komplizierte Organisation von Melodien und Harmonien, die wiederum komplizierte Organisationen von Noten und Rhythmen sind. Oft ist das Erkennen eines Musters in einem Problem der erste Schritt, um die zugrunde liegende Struktur zu verstehen. Und hier liegt die Stärke der Mathematik: die gleichen mathematischen Strukturen können in völlig unterschiedlichen Einstellungen erscheinen. Eine gemeinsame mathematische Struktur, eine Gruppe genannt, entsteht in fast jedem Bereich der Mathematik.

Im 19. Jahrhundert untersuchten die Menschen separat die Symmetrie der Formen, versuchten, Quintic-Gleichungen zu lösen (eine Gleichung mit einer Variablen x, wobei die höchste Kraft von x5 ist), und untersuchten ein tieferes Verständnis der Arithmetik. Die gleiche Struktur entstand in all diesen Einstellungen und ist seitdem überall erschienen, von der Kristallographie in der Chemie bis hin zur Codierung von Daten auf CDs und Festplatten. Dies ist eines der berühmtesten Muster in der Mathematik: die Fibonacci-Sequenz. Es wurde von Leonardo Pisano, heute besser bekannt als Fibonacci, in seinem Buch Liber Abaci im dreizehnten Jahrhundert entdeckt. Eines der Probleme, die er in seinem Buch untersuchte, war, wie schnell Kaninchen unter idealen Umständen züchten konnten. Ein Muster ist eine Teilmenge einer Struktur. Ähnliche Steine könnten eine Vielzahl von Strukturen bauen Während Sie in der High School waren, haben Sie wahrscheinlich nur von einer Art von Struktur gelernt – solche, die aus Zahlen aufgebaut werden konnten. Obwohl einiges davon interessant ist, liegt die wahre Schönheit der Mathematik in der Flexibilität und tiefen Vernetzung verschiedener Arten von mathematischer Struktur. Wir erkunden einige dieser Strukturen auf dieser Website, und ich glaube, dass, sobald Sie auf Ihrem Schloss beginnen, werden Sie nie aufhören wollen.